Esercizi sui massimi e minimi delle funzioni a due variabili

Esercizio 1. Determinare i punti critici, gli estremi relativi ed i punti di sella delle seguenti funzioni:
a.   f(x,y) = + x y +
b.   f(x,y) = -- 3 x y . Ha minino e massimo assoluti?
c.   f(x,y) = , nella palla aperta  < 4. [Domanda aggiuntiva: e nella palla chiusa, e dunque compatta, <= 4? Bisogna vedere se la funzione assuma min e/o max assoluti sulla frontiera della palla]

Esercizio 2. Determinare il dominio, i punti critici, gli estremi relativi ed i punti di sella delle seguenti funzioni:
a.   f(x,y) = + + -2 x y
b.   f(x,y) = +x
c.   f(x,y) = -2x + +

Risposte

Esercizio 1.
a. (0,0) sella,  (1,1) minimo
b. (0,0) sella (det < 0); (1,1)  minimo.  Non ci sono punti di minimo e max assoluti perche` in un intorno di infinito ....
c. (0,0) e` di minimo. [Nella palla chiusa la funzione deve avere min e max assoluti. Sul cerchio di raggio 2 la funzione vale  ( ). Il massimo assoluto e` raggiunto in  (0,2) e in (0,-2). Il min assoluto e` in (0,0)]

Esercizio 2.
a. L'unico punto critico e`  (0,0) ed e` di sella. L'hessiano  ha un autovalore nullo ed uno positivo. Per stabilire se (0,0) e` di minimo o di sella  bisogna studiare il segno di  f(x,y)-f(0,0)  in un intorno di (0,0). Sull'asse  x ... e sulla retta x=y ....
b. (0,0)  e` di sella.
c.  (0,0) sella,   ()  e   ()  minimo stretto.